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[ 发布时间 ]:2016-1-15 11:24:24 [ 点击次数 ]:3163

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理解数学,理解学生,才能教好数学
(对初中数学教师)
一、理解数学,才能教好数学
无论多么高深的理论,都必须回到实践中去。
我们从一个具体例子说起。
1 最基本的图形──点和线
数学的理解:
1)学点、线是学几何图形。几何图形是语言,语言是用来交流的。
2)数学中的点、线是由实际中抽象出来的,谁来抽象?
建议:
教师:同学们,你们从家里到学校是怎么走的?经过哪些地方?请画个图告诉我们大家。
为什么这样引入?
一是基于上面的两点认识。
二是学生立即动手操作起来,立即参与到课堂教学过程中来。
画完后交流。
关注组成图形的是什么?为抽象、概括做准备。
构成的图形未必相同,但是构成图形的元素不外乎是点、线。点的名称(地点)可能是用中文表示的。
抽象、概括特征,形成数学概念。让学生从自己的生活实践中去抽象、去概括。
点——表示位置,线——表示关系与距离(长短)。
从而概括出性质——点无大小,线无粗细。
线未必一下就出直的,可以是曲的。(先关注)最简单的最特殊的当然是点、线段
沿着这个引入走下去,课不会差。——另一个教师的实践,她获得了学校教学比赛第一名。
教什么比怎么教更重要。只有理解了数学才能教好数学。
理解数学,就是要理解数学概念的抽象过程,理解知识的发生发展过程、来龙去脉。
小学生都会算平均数,但是,平均数的概念到底是怎么来的呢?
有一本书上这样说:算术平均数是一组数据的代表值,起着衡量数据资料的集中趋势和大致水平的作用。
就是说,平均数是刻画一组数据集中趋势、大致水平的一个代表值什么样的数有资格做一组数据的代表来刻画数据资料的集中趋势和大致水平呢?
与现实生活类比。要选一个能代表我们的,这个应该具备的特征是和你我都走得近,我们都愿意集中在他的周围。用什么数学方法可以刻画走得近呢?
距离小。
数学中是怎么表示距离的?
绝对值,差的绝对值。
仅仅和一个人走得近行吗?不行!要和我们每一个人都走得近。那么,和每一个人都走得近’”又该如何刻画?
距离的和最小。就是这个代表值要和样本中每一个数据差的绝对值之和最小。
我们用x1x2xn表示样本数据,用x0表示这个代表值,使函数g(x)|xx1||xx2||xxn| x=x0时取最小值。
怎么求x0呢?
绝对值号很不方便计算(正负难以确定。真正的原因是函数g(x)|xx1||xx2||xxn|取得最小值x=x0时,并不包含所有样本的信息)。再说,我们并不是要计算这个绝对值的和是多少,而是要找出x1x2xn代表值x0。注意到绝对值是非负的,能否用另外一个非负数来替换它而达到同样效果呢?
平方。改成求使得函数f(x)(xx1)2(xx2)2(xxn)2取最小值时的x。(异曲同工)
这是二次函数。
展开得f(x)nx22(x1x2xn)x(x12x22xn2),当x时,f(x)取得最小值。
包含了所有样本的信息。
我们找到了x1x2xn这组数据的代表值,它叫做这n个数的算术平均数,记为,即
因何而得此名?平均,,平等,平整(原来高低不平);,均衡。
样本的平均数也称为样本中心。(物理重心)
算术平均数代表了一组数据的大致水平。比如,用班级数学平均成绩来代表这个班数学成绩的大致水平。
方差这个概念又是怎样产生的?因何而得此名?
A{5050}B{0100}这两个不同的样本,使得函数
y[xx12+xx12]取得最小值的自变量x的值是一样的,都是x50,但是,各自所取得的函数最小值并不一样,这就需要区别,区别这个不一样的量叫方差(概念)。
方差是函数fx)的最小值。即
方差s2[x12+x22+…+xn2]
再看看这两个样本不一样在哪里呢?
A{5050}中的两个量聚集在平均值(样本中心)的周围(它们已经就是平均值了),而B{0100}中的两个量并不聚集在平均值的周围,离散(定性说法)得很。因此,方差是用来(定量)刻画样本离散程度的量。方差越大,离散程度越大;方差越小,离散程度越小。
但是,因为平方的缘故,方差放大了离散程度,这就是标准差概念的产生原因。标准差
s
从平均数的概念的产生可见,在数学的发展过程中,充满人类的创造与智慧。
弗赖登塔尔说:“没有一种数学的思想,以它被发现时的那个样子公开发表出来,一个问题被解决后,相应地发展为一种形式化技巧,把求解过程丢在一边,使得火热的发明变成冰冷的美丽。”他还说:“教材是教学法的颠倒”。
教数学如果不把这些教出来,那就没有了“数学味”。
我们不能让学生觉得学数学就是做题目,就是算。
数学家说,不要以为我们天天在算,我们是天天在思考。
学数学是要做题目,那又为什么?
思维训练!
解题教学,不教怎样理解题意,不教“怎么想到的”——思维过程,是无效的解题教学。
世界上的任何概念都是有必要产生才产生的,任何概念都是在解决问题的过程产生的。
世界上的任何方法都是在解决问题的过程中被发现、被总结、被创造出来的。
李邦河院士认为:“数学根本上是玩概念的,不是玩技巧。技巧不足道也!”
数学的特点是用概念思维,是抽象思维,因此,必须把概念搞清楚。
数学是思维科学。数学教学是思维的教学。
二、理解学生,才能教好数学
理解学生指什么?指理解学习者。
指:理解学生的认知基础(知识、方法、思想),理解学生的认知能力,理解学生的认知心理特点,理解学生的认知个性。
有人说,如果教师的教学不能与学生的认知基础、认知能力对接,那么教学没有发生。
认知过程主要有两个心理操作——同化与顺应。任何人认识新事物,总是首先把它与自己已有的知识、经验相联系,企图把新知识同化于自己已有的认知结构中,当不能进行同化时则采用顺应的方式调整自己的认知结构,以实现新的平衡。
学习的动机源于疑惑、好奇、惊奇。这就是用问题引导学习的依据。
学习是学习者本人的行动,是学习者本人的体验与感受,是任何其他人都代替不了的。
教学规律的核心是认知规律,认知规律的核心是“躬行”。
学的悲哀是依赖,教的悲哀是替代。
学生力所能及的事让学生自己去做,这是教学的原则之一。
这些就是为什么教师不要总是去告诉的原因。因为学生不是听你讲就能够学会的!
缺少学生参与的概括是无效的概括,缺少学生参与的总结是无效的总结……一句话,缺少学生参与的教学过程是无效的教学过程。
直角坐标系。
为什么要学习直角坐标系?平面上的点无法用数轴来表示——建立(学习)直角坐标系的必要性。
数轴是什么?数轴上的点怎样表示实数?怎样借助数轴解决一些与实数有关的问题?这些都是学生已有的知识与经验。
怎样由数轴走向直角坐标系?
教学怎么设置?
设置问题,形成认知冲突。让学生感受到数轴的局限性,让学生参与问题解决的过程。
怎样设置认知冲突?实例就在身旁,实例就在教室中。
让学生参与直角坐标系的抽象,就是让学生参与概念的建立,参与再创造。
直角坐标系是数与形结合的工具,从形到数,从数到形都由学生相互设置问题、解决问题来完成。
学生充分参与的教学是“少教多学”。
二次根式的加减的教学设计。
1.问题是怎么提出来的?
同学们前面学习了二次根式,对于一个数学对象,如果可以运算,我们就要研究怎么运算,比如,数的运算,代数式的运算。二次根式能够运算吗?比如,可以相加减吗?
今天研究什么问题?问题又是怎么提出来的?要自然。可以由教师提出问题,最好能引导学生自己发现问题、提出问题。
毕业于北大少年班,现美国奥数队主教练、扎克伯格的高中数学老师冯祖鸣尖锐批评中国数学教育,中国学生进入大学后,能力可以说很差。因为太习惯被动去等老师给问题,给公式,不能自己创造。
2.由具体事例归纳出二次根式如何相加减。
请你写出一些二次根式,你认为哪些可以相加、减?能够相加、减的,怎样相加、减?
这就是再创造。
先让他们自己尝试解决问题,教师不要过早干预。
我相信,学生会进行下列运算:
342 =+5
3.你是怎么想到二次根式应该这样来相加、减的?
或者可以(具体)问:
你为什么认为4可以与相加?
为什么+5不能再继续(非近似)相加?
不仅向学生要结果,还要向学生要思维过程。
因为他们有合并同类项的经验,他们可以与合并同类项相类比。
4.这些可以相加、减的二次根式有哪些共同特点?
“同类二次根式”——概念产生的必要性出现了。
让学生参与了同类二次根式的定义。——同类二次根式的概念是对一类可以相加减的二次根式共同特征的概括,是学生体验、感受、观察、分析的结果。
单项式乘以多项式。
1.前面我们学习了单项式乘以单项式,你们说,今天该学习什么?
引导学生自己提出问题。学生能提出“单项式乘以多项式”这一学习任务吗?能。
2.你认为单项式乘以多项式该怎么运算?请举例说明。
结合具体实例——抽象问题具体化。
3.你是怎么想的?为什么你认为单项式乘以多项式应该这样乘?
引导学生把新知识与已有的知识联系起来。——回答这个问题,必然凭借自己的学习经验,已有的知识、技能。
小学时,学生就知道乘法对于加法的分配律。
)=4913
单项式乘以单项式与单项式乘以多项式差别在哪里?谁来克服这个差别?学生有这个能力吗?
4.请你画个图,说明其中的道理。
引导学生加强数与形的结合。
5.每人出几道题,让你的同桌做。
6.请大家说单项式乘以多项式应该怎么乘。
单项式乘以多项式的运算法则是规定的,是谁规定的?为什么不能让学生来(参与)规定呢?!
把学生卷入到课堂教学中来!
怎么卷?靠问题。
教师不要总是想着去陈述、去解释、去告诉,要想一想怎样去设问。
让学生讲给你(同伴)听——这个话听起来有点惊世骇俗。
什么是数学教学?数学教学就是“逗你玩”。
提高教学的立意!“教书”,更要“教人”。
三、到底该怎么教数学?
数学课堂教学的基本过程,大致是:
提出问题。需要解决什么问题?越明确越好。当然,最好是引导学生来提出问题。创设情境主要是为了提出问题——问题情境。
通过问题一次又一次地把学生推入“愤”、“悱”状态,让他们感到困惑、好奇,激发求知欲望,引发学习动机,产生学习兴趣,并感受学习知识的必要性。
探究发现。留足时间,先让学生尝试自己解决问题。动手画一画、做一做、想一想、猜一猜,从而有所发现,获得知识、掌握方法。
在这个过程中,教师不要过早干预学生的学习活动,注意延迟判断,不要轻易“捅破窗户纸”。
交流展示。上讲台讲,上黑板写(板演),或者教师提问,与同伴交流,参与判断,参与评价等活动。
学生有困难时,教师可以适当给予“启”、“发”等学习引导、指导,并注意帮助学生归纳、总结,形成共识。要少当演员,当好“主持人”、组织者、帮助者。
暴露过程。挖掘解决问题、结果产生背后的思维过程,问一问:“你凭什么这么说?”“你是怎么想到的?”
评价归纳。形成共识,形成结论。——教师“点睛”。——什么是“睛”?——是“宗”、是“渔”,是规律,是思想。要关注那些可以迁移的东西。)
这五个步骤中最容易忽视的是二、四两步。
先有招后无招,尽快地学会教学。
 
结束语:
学无止境。
深入才能浅出。
在忙碌之余,读些书,思考些问题。
只有把学习当习惯的人,才能成功。
让我们共勉。
陶维林                           
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